高次幂三角函数及其计算

zedo2022年9月26日大约 5 分钟约 1648 字

介绍如何将 $sin^{n} x$ 和 $cos^{n} x$ 用 $sin k x$ 和 $cos k x$ 线性表示，以及计算如下积分的方法

\int sin^{n} x d x, \int cos^{n} x d x

降幂公式

(x + y)^{n} = k = 0 \sum n (k n) x^{n - k} y^{k} = k = 0 \sum n (k n) x^{k} y^{n - k}

其中 $(k n)$ 是二项式系数，在中学时我们用的记号为 $C_{n}^{k}$ 。

它满足等式

(k n) = (n - k n)

cos x = \frac{e ^{i x} + e ^{- i x}}{2}

其中 $i$ 是虚数单位。

由欧拉公式

cos^{n} x = \frac{( e ^{i x} + e ^{- i x} ) ^{n}}{2 ^{n}}

由二项式定理

S = (e^{i x} + e^{- i x})^{n} = k = 0 \sum n (k n) (e^{i x})^{k} (e^{- i x})^{n - k} = k = 0 \sum n (k n) e^{i (2 k - n) x} = k = 0 \sum n (k n) (e^{i x})^{n - k} (e^{- i x})^{k} = k = 0 \sum n (k n) e^{i (n - 2 k) x} = k = 0 \sum n (k n) \frac{e ^{i (2 k - n) x} + e ^{i (n - 2 k) x}}{2} = k = 0 \sum n (k n) cos (n - 2 k) x

若 $n$ 为偶数，则将合式 $S$ 分为三部分

S = k = 0 \sum \frac{n}{2} - 1 (k n) cos (n - 2 k) x + (n /2 n) + k = \frac{n}{2} + 1 \sum n (k n) cos (n - 2 k) x = S_{1} + (n /2 n) + j = \frac{n}{2} - 1 \sum 0 (n - j n) cos (n - 2 (n - j)) x = S_{1} + (n /2 n) + j = 0 \sum \frac{n}{2} - 1 (k n) cos (n - 2 j) x = 2 j = 0 \sum \frac{n}{2} - 1 (k n) cos (n - 2 j) x + (n /2 n)

这里记号 $j = \frac{n}{2} - 1 \sum 0$ 表示倒序求和，并注意到 $cos x$ 是偶函数。

故

cos^{n} x = \frac{S}{2 ^{n}} = \frac{1}{2 ^{n - 1}} j = 0 \sum \frac{n}{2} - 1 (k n) cos (n - 2 j) x + \frac{1}{2 ^{n}} (n /2 n)

若 $n$ 为奇数，则可将 $S$ 均分为两部分，根据 $n$ 为偶数的情况可推知

cos^{n} x = \frac{1}{2 ^{n - 1}} j = 0 \sum \frac{n - 1}{2} (k n) cos (n - 2 j) x

综合有

cos^{n} x = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{2 ^{n - 1}} k = 0 \sum \frac{n - 1}{2} (k n) cos (n - 2 k) x \frac{1}{2 ^{n - 1}} k = 0 \sum \frac{n}{2} - 1 (k n) cos (n - 2 k) x + \frac{1}{2 ^{n}} (n /2 n), n 为奇数, n 为偶数

又因为

⌊ \frac{n - 1}{2} ⌋ = {\frac{n - 1}{2} \frac{n}{2} - 1, n 为奇数, n 为偶数

以及

n mod 2 = {10, n 为奇数, n 为偶数

则

cos^{n} x = \frac{1}{2 ^{n - 1}} k = 0 \sum ⌊ \frac{n - 1}{2} ⌋ (k n) cos (n - 2 k) x + \frac{1 - ( n mod 2 )}{2 ^{n}} (n /2 n)

由关系 $sin x = cos (\frac{π}{2} - x)$ 得

cos (n - 2 k) (\frac{π}{2} - x) = (- 1)^{k} cos [\frac{nπ}{2} - (n - 2 k) x]

若 $n$ 为偶数，则

cos [\frac{nπ}{2} - (n - 2 k) x] = (- 1)^{\frac{n}{2}} cos (n - 2 k) x = (- 1)^{⌊ \frac{n}{2} ⌋} cos (n - 2 k) x

若 $n$ 为奇数，则

cos [\frac{nπ}{2} - (n - 2 k) x] = cos [\frac{n - 1}{2} π + \frac{π}{2} - (n - 2 k) x] = (- 1)^{\frac{n - 1}{2}} sin (n - 2 k) x = (- 1)^{⌊ \frac{n}{2} ⌋} sin (n - 2 k) x

于是

cos (n - 2 k) (\frac{π}{2} - x) = (- 1)^{k} (- 1)^{⌊ \frac{n}{2} ⌋} cos sin (n - 2 k) x = (- 1)^{⌊ \frac{n}{2} ⌋ \pm k} cos sin (n - 2 k) x

从而

sin^{n} x = \frac{1}{2 ^{n - 1}} k = 0 \sum ⌊ \frac{n - 1}{2} ⌋ (- 1)^{⌊ \frac{n}{2} ⌋ - k} (k n) cos sin (n - 2 k) x + \frac{1 - ( n mod 2 )}{2 ^{n}} (n /2 n)

从奇偶性来讲：