2020-10-07 积分题

zedo2020年10月7日大约 2 分钟约 571 字

题目

计算积分 $\int_{0}^{+ \infty} e^{- 2 x} ∣ sin x ∣ d x$ .

此题解法源自笔者在知乎^[1] 的回答，以及参考了其他答主的思路。

准备工作

首先注意如下事实：

\int e^{a x} cos b x d x = \frac{1}{a ^{2} + b ^{2}} (e^{a x})^{'} e^{a x} (cos b x)^{'} cos b x = \frac{e ^{a x} ( a cos b x + b sin b x )}{a ^{2} + b ^{2}}

\int e^{a x} sin b x d x = \frac{1}{a ^{2} + b ^{2}} (e^{a x})^{'} e^{a x} (sin b x)^{'} sin b x = \frac{e ^{a x} ( a sin b x - b cos b x )}{a ^{2} + b ^{2}}

那么

\int_{0}^{π} e^{- 2 x} sin x d x = [\frac{e ^{- 2 x} ( - 2 sin x - cos x )}{5}]_{0}^{π} = \frac{e ^{- 2 π} + 1}{5}

分割区间为两部分，分割点为 $π$ .

I \Rightarrow I = \int_{0}^{+ \infty} e^{- 2 x} ∣ sin x ∣ d x = \int_{0}^{π} + \int_{π}^{+ \infty} e^{- 2 x} ∣ sin x ∣ d x = \int_{0}^{π} e^{- 2 x} sin x d x + \int_{π}^{+ \infty} e^{- 2 x} ∣ sin x ∣ d x x \mapsto x - π = \frac{1 + e ^{- 2 π}}{5} + \int_{0}^{+ \infty} e^{- 2 (x + π)} ∣ sin (x + π) ∣ d x = \frac{1 + e ^{- 2 π}}{5} + e^{- 2 π} I = \frac{1 + e ^{- 2 π}}{5 ( 1 - e ^{- 2 π} )} = \frac{1}{2} \frac{e ^{2 π} + 1}{e ^{2 π} - 1}

拆区间，间隔为 $∣ sin x ∣$ 的最小正周期 $T = π$ .

I = \int_{0}^{+ \infty} e^{- 2 x} ∣ sin x ∣ d x = n = 0 \sum \infty \int_{nπ}^{(n + 1) π} e^{- 2 x} ∣ sin x ∣ d x x \mapsto x - nπ n = 0 \sum \infty \int_{0}^{π} e^{- 2 (x + nπ)} ∣ sin x ∣ d x = n = 0 \sum \infty e^{- nπ} 常数 \int_{0}^{π} e^{- 2 x} sin x d x = \frac{e ^{- 2 π} + 1}{5} n = 0 \sum \infty (e^{- 2 π})^{n} = \frac{1 + e ^{- 2 π}}{5} \frac{1}{1 - e ^{- 2 π}} = \frac{1}{5} \frac{e ^{2 π} + 1}{e ^{2 π} - 1}

提示

事实上，这个积分可看作周期函数的一个拉普拉斯变换：

\int_{0}^{\infty} e^{- a x} f (x) d x = \frac{1}{1 - e ^{- a T}} \int_{0}^{T} e^{- a x} f (x) d x

其中 $f$ 以 $T$ 为最小正周期， $a > 0$ 。

可用类似上面的方法证明，这里不再赘述。

类似题：https://www.zhihu.com/question/455190275open in new window