2022-03-20 积分题

zedo2022/3/20大约 1 分钟约 332 字

题目

计算 $\int_{0}^{π} \frac{d x}{1 + sin ^{4} x}$ 和 $\int_{0}^{π} \frac{sin x}{1 + sin ^{4} x} d x$ .

Cauchy-Schlömilch 变换我们曾经在 2020-09-10 积分题中使用过。

这里给出能使用它的两道积分题。

I = \int_{0}^{π} \frac{d x}{1 + sin ^{4} x} = 2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + tan ^{2} x}{( 1 + tan ^{2} x ) ^{2} + tan ^{4} x} d (tan x) = 2 \int_{0}^{+ \infty} \frac{1 + t ^{2}}{2 t ^{4} + 2 t ^{2} + 1} d t = 2 \int_{0}^{+ \infty} \frac{\frac{1}{t ^{2}} + 1}{2 t ^{2} + 2 + \frac{1}{t ^{2}}} d t = 2 \int_{0}^{+ \infty} \frac{d ( 2 t - \frac{1}{t} ) + ( 1 - 2 ) d t}{( 2 t - \frac{1}{t} ) ^{2} + 2 + 2 2} u = 2 t - t^{- 1} 2 \int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{d u}{u ^{2} + ( 2 + 2 2 )} + \frac{1 - 2}{2} \int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{d t}{t ^{2} + ( 2 + 2 2 )} = (2 + \frac{1}{2} - 1) \cdot 2 [\frac{1}{2 + 2 2} arctan \frac{u}{2 + 2 2}]_{0}^{\infty} = \frac{2 + 1}{2} \cdot \frac{π}{2 1 + 2} = \frac{π}{2} 1 + 2

\int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{d ( 2 t - \frac{1}{t} )}{( 2 t - \frac{1}{t} ) ^{2} + 2 + 2 2} u = 2 t - t^{- 1} \int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{d u}{u ^{2} + ( 2 + 2 2 )}