2022-01-03 积分题

zedo2022年1月3日大约 2 分钟约 489 字

题目

计算积分 $\int_{0}^{π} \frac{sin ^{2} x}{a + b cos x} d x$ ，其中 $∣ a ∣ ⩾ ∣ b ∣$ .

此题解法源自笔者在知乎^[1] 的回答。

组合积分

不妨设 $a, b > 0$ 。

1° 当 $a = b$ 时，

I = \int_{0}^{π} \frac{sin ^{2} x}{a + b cos x} d x = \frac{1}{a} \int_{0}^{π} \frac{1 - cos ^{2} x}{1 + cos x} d x = \frac{1}{a} \int_{0}^{π} (1 - cos x) d x = \frac{π}{a}

2° 当 $a > b$ 时，利用组合积分法，令：

J = \int_{0}^{π} \frac{1}{a + b cos x} d x K = \int_{0}^{π} \frac{cos ^{2} x}{a + b cos x} d x

则所求积分为

I = \int_{0}^{π} \frac{sin ^{2} x}{a + b cos x} d x = J - K

又注意到

a^{2} J - b^{2} K = \int_{0}^{π} \frac{a ^{2} - b ^{2} cos ^{2} x}{a + b cos x} d x = \int_{0}^{π} (a - b cos x) d x = aπ

可得 $K = \frac{a ^{2} J - aπ}{b ^{2}}$ 。利用维尔斯特拉斯换元法易得

J = \int_{0}^{π} \frac{1}{a + b cos x} d x = \frac{π}{a ^{2} - b ^{2}}

因此

I = J - \frac{a ^{2} J - aπ}{b ^{2}} = (1 - \frac{a ^{2}}{b ^{2}}) J + \frac{aπ}{b ^{2}} = \frac{a - a ^{2} - b ^{2}}{b ^{2}} π (1)

可见 $(1)$ 式对于 $a = b$ 的情况同样适用，因此该题求解完毕。

维尔斯特拉斯换元法

维尔斯特拉斯换元法其实也就是我们中学所学过的 三角换元。

令 $t = tan \frac{x}{2}$ ，则

sin x = \frac{2 t}{1 + t ^{2}}, cos x = \frac{1 - t ^{2}}{1 + t ^{2}} tan x = \frac{2 t}{1 - t ^{2}}, d x = \frac{2}{1 + t ^{2}} d t

因此

J = \int_{0}^{π} \frac{1}{a + b cos x} d x t = t a n \frac{x}{2} 2 \int_{0}^{\infty} \frac{d t}{a ( 1 + t ^{2} ) + b ( 1 - t ^{2} )} = 2 \int_{0}^{\infty} \frac{d t}{( a - b ) t ^{2} + ( a + b )} = \frac{2}{( a - b ) ( a + b )} [arctan \frac{a - b t}{a + b}]_{0}^{\infty} = \frac{π}{a ^{2} - b ^{2}}